Estructura de tasas de interés: Descripción

Existen tres variables que determinan la estructura a plazos:

• Precios de bonos cero cupón $({P}_{n})$: El que el inversionista está dispuesto a pagar.
• Tasas spot $({y}_{n})$: Es la tasa que se gana por realizar una inversión hoy en un título cero cupón y dejarlo hasta el vencimiento. También es conocida como yield to maturity
• Tasas forward $({r}_{n})$: Es la tasa que se espera ganar por realizar una inversión en una fecha futura.

Cada una de las variables puede ser calculado a partir de los otros dos. Sin embargo la variable directamente observable son los precios.

Podemos describir la estructura de tasas de interés por medio de subdivisiones entre el tiempo cero (hoy) y el tiempo de vencimiento de los títulos, donde la tasa dentro de una subdivisión puede ser constante, pero entre una subdivisión y otra, hay tasas diferentes. Por ejemplo un préstamo a cinco años con una tasa ${Y}_{5}$, puede ser visto como cinco prestamos consecutivos de a un año a tasas ${r}_{1}$, ${r}_{2}$, ${r}_{3}$, ${r}_{4}$, y ${r}_{5}$, respectivamente.

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Precio de un bono cero cupón en función de la tasa spot

Forma discreta

Sea $VN$ el valor nominal que se entrega en la fecha de vencimiento del título en el año $n$, y sea ${Y}_{n}$ la tasa spot del título (yield), entonces se define el precio ${P}_{n}$ de un bono cero cupón en forma discreta como:

$$ \LARGE{ \quad {P}_{n}=\frac { 1 }{ { (1+{y}_{n}) }^{ n } }· VN \quad }$$

$$(1)$$

Forma continua

Sea $VN$ el valor nominal que se entrega en la fecha de vencimiento del título en el año $n$, y sea ${Y}_{n}$ la tasa spot del título (yield), entonces se define el precio ${P}_{n}$ de un bono cero cupón en forma continua como:

$$ \LARGE{ {P}_{n}=\frac { 1 }{ { e }^{ n·{y}_{n} }} · VN \quad } $$

$$(1.1)$$

Ver/Ocultar demostración Recuerde de los cursos de cálculo que el número $e$ se define como: $$e \quad := \quad \underset { h \rightarrow 0 }{ lim } {(1+h)}^{\frac {1}{h}}$$ La tasa ${y}_{n}$ está en términos nominal anual. Por lo que se puede reexpresar como ${y}_{n} = \frac {i}{n}$. Entonces el denominador en (1) al asumir una capitalización continuada indefinidamente, es decir que $n \rightarrow \infty$, se puede escribir como: $$\underset {n \rightarrow \infty}{lim} {(1+{y}_{n})}^{n} = \underset {n \rightarrow \infty}{lim} { \left( 1 + \frac {i}{n} \right)}^{n}$$ y realizando la sustitución $h= {y}_{n} = \frac {i}{n}$, lo que implica que si $n \rightarrow \infty$ entonces $h \rightarrow 0$ $$\underset {n \rightarrow \infty}{lim} { \left( 1 + \frac {i}{n} \right) }^{n} = \underset {h \rightarrow 0}{lim} { \left( 1 + h \right) }^{ \frac {i}{h}} = {\left[ \underset {h \rightarrow 0}{lim} {(1 + h)}^{ \frac {1}{h}} \right] }^{i} = {e}^{i} = {e}^{n·{y}_{n}}$$

El término $\frac { 1 }{ { (1+{y}_{n}) }^{ n } }$ en la ecuación (1), y el término $\frac { 1 }{ { e }^{ n·{y}_{n} }}$ en la ecuación (1.1) es llamado factor de descuento y se puede reexpresar las ecuaciones (1) y (1.1) como:
$$D(n) = \frac {1}{ { (1+{y}_{n}) }^{ n } } \quad \rightarrow \quad {P}_{n}=D(n)·VN \quad \rightarrow \quad D(n) = \frac {{P}_{n}}{VN}$$
$$d(n) = \frac {1}{ { e }^{ n·{y}_{n} } } \quad \rightarrow \quad {P}_{n}=d(n)·VN \quad \rightarrow \quad d(n) = \frac {{P}_{n}}{VN}$$

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La tasa spot en función de las tasas forward

Suponiendo que el título de menor vencimiento es el de un año, entonces La tasa forward del primer año es igual a la tasa spot del primer año.

$$ \Large { {y}_{1}={r}_{1} } $$

El denominador en (1) para el periodo $n$ puede ser visto como una composición de tasas forward equivalentes:

Forma discreta

$$ \LARGE{ { (1+{y}_{n}) }^{ n }=(1+{r}_{1})(1+{r}_{2})...(1+{r}_{n}) \quad }$$

$$(2)$$

Forma continua

$$ \LARGE { \quad { n{y}_{n} }={r}_{1}+{r}_{2}+···+{r}_{n} \quad }$$

$$(2.2)$$

Ver/Ocultar demostración

La generaliación de la función de descuento se describe mediante la ecuación: $$ d(t) = \frac {1}{{ \huge{e} }^{ \large{\int _{ 0 }^{ T }{ r(t)dt } }}}$$ Por lo tanto el precio de un bono cero cupón en forma general está dado por: $$ P(t) = d(t)·VN$$ $$ \frac {P(t)}{VN} = d(t) = {\huge{e}}^{ - \large{\int _{ 0 }^{ T }{ r(t)dt }}} $$ $$ \ln{ \frac {P(t)}{VN} = - \int _{ 0 }^{ T }{ r(t)dt } }$$ Con el fin de despejar $r(t)$ aplicamos el primer teorema fundamental del cálculo: $$ \frac {d}{dT} \ln{P(t)} = \cancelto{0}{ \frac {d}{dT} \ln{VN}} - \frac {d}{dT} \int _{ 0 }^{ T }{ r(t)dt } $$ $$ - \frac {d}{dT} \ln{P(t)} = r(T)$$ Para el caso que estamos trabajando, estamos suponiendo que la función $r(t)$ es una función constante a tramos. Es decir, que en el periodo entre los años [0,1) el valor de la tasa forward es constante e igual a ${r}_{1}$, en el periodo [1,2) es ${r}_{2}$, y así en lo sucesivo hasta el periodo [n-1,n) con tasa ${r}_{n}$. Esta función se describe como: $$r(t) = {r}_{k} \quad ; \quad para \quad todo \quad k-1 < t \le k \quad con \quad k \in N=\{1,2,...\} $$ Por lo que la integral de la función de descuento da como resultado: $$\int _{ 0 }^{ n }{ r(t)dt } = \int _{ 0 }^{ 1 }{ r(1)dt } + ··· + \int _{ k-1 }^{ k }{ r(k)dt } + ··· + \int _{ n-1 }^{ n }{ r(n)dt }$$ $$\quad \quad \quad = \int _{ 0 }^{ 1 }{ {r}_{1}dt } + ··· + \int _{ k-1 }^{ k }{ {r}_{k}dt } + ··· + \int _{ n-1 }^{ n }{ {r}_{n}dt } \quad \quad $$ $$\quad \quad \quad = {r}_{1} \int _{ 0 }^{ 1 }{ dt } + ··· + {r}_{k} \int _{ k-1 }^{ k }{ dt } + ··· + {r}_{n} \int _{ n-1 }^{ n }{ dt } \quad \quad $$ $$\quad \quad \quad = {r}_{1} · { t| }_{ 0 }^{ 1 } + ··· + {r}_{k} · { t | }_{ k-1 }^{ k } + ··· + {r}_{n} · { t | }_{ n-1 }^{ n } \quad \quad \quad$$ $$\quad \quad \quad = {r}_{1} + ··· + {r}_{k} + ··· + {r}_{n} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$$ La función de descuento en forma continua entonces se puede escribir como: $$ d(n)= \frac {1}{ {\huge{e}}^{ n·{y}_{n} } } = \frac {1}{ {\huge{e}}^{ {r}_{1}+···+{r}_{n} } }$$ De donde se desprende el resultado en (2.2)

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La tasa forward

Forma discreta

Si queremos saber la tasa forward para un periodo específico $n$ en función de la tasa spot ${y}_{n}$, tenemos que despejar ${r}_{n}$ de la ecuación (2) pero tendríamos que conocer las otras tasas forward. Sin embargo, se observa que al pasar todo lo que está al lado derecho de la igualdad hasta la tasa forward del periodo ${r}_{(n-1)}$ es el factor de descuento del periodo $(n-1)$.

$${ (1+{y}_{n}) }^{ n } · \frac {1}{(1+{r}_{1})(1+{r}_{2})...(1+{r}_{n-1})} = (1+{r}_{n})$$
$${ (1+{y}_{n}) }^{ n } · \frac {1}{ { (1+{y}_{n-1}) }^{ n-1 } } = (1+{r}_{n})$$
$$\frac {1}{D(n)} · D(n-1) = (1+{r}_{n})$$

$$ \LARGE{ \quad {r}_{n} = \frac {D(n-1)}{D(n)} -1 \quad ; \quad n=2,3,...}$$

$$(3) \quad $$

Ahora, si queremos saber la tasa forward para un periodo específico $n$ en función de los precios, reemplazamos la ecuación (2) en (1):

$$ \LARGE{ {P}_{n} = \frac {VN}{(1+{r}_{1})···(1+{r}_{n-1})(1+{r}_{n})} \quad }$$

$$(4) \quad $$

Supongamos que los bonos cero cupón ofrecen el mismo nominal $VN$ aunque sea en periodos distintos (1, 100, 1000). Por lo que si hallamos el precio del bono cero cupón en el periodo $(n-1)$, obtenemos:

$${P}_{n-1} = \frac {VN}{(1+{r}_{1})···(1+{r}_{n-2})(1+{r}_{n-1})} \quad (5) $$

Si reexpresamos la ecuación (4), y reemplazamos (5) en (4) obtenemos que:

$${P}_{n} = \frac {VN}{(1+{r}_{1})···(1+{r}_{n-1})} · \frac {1}{(1+{r}_{n})} \quad $$
$${P}_{n} = {P}_{n-1} · \frac {1}{(1+{r}_{n})} \quad $$

$$ \LARGE{ \quad {r}_{n} = \frac {{P}_{n-1}}{{P}_{n}} -1 \quad }$$		$$(6)$$

Forma continua

La forma continua de la ecuación (4) es:

$$ \LARGE{ {P}_{n} = \frac {VN}{{e}^{{r}_{1}+···+{r}_{n-1}+{r}_{n}}} \quad }$$	$$(7)$$

y la forma continua de la ecuación (6) es:

$$ \LARGE{ \quad {r}_{n} = log{\frac {{P}_{n-1}}{{P}_{n}}} \quad }$$	$$(8)$$

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