Estructura de tasas de interés: El problema de la estimación

No es posible observar la estructura de tasas de interés de una forma directa, pero es posible observar los precios de mercado de instrumentos cuyo precio depende de la estructura de tasas y así estimar los términos. Una fuente directa de información son los bonos del gobierno, donde hay valores más líquidos y cuyo precio depende solamente de la estructura de tasas.

Recordemos que el precio de un bono está dado por la siguiente ecuación:

$$ \LARGE { P = {FC}_{1}· \frac{ 1 }{ {(1+y)}^{1} } + ··· + {FC}_{n}· \frac{ 1 }{ {(1+y)}^{n} }} $$

De donde se pretende encontrar el valor de $y$ (la TIR) una vez conocido el precio al que se está negociando. El último flujo de caja incluye el valor nominal. Sin embargo, esta ecuación supone dos puntos importantes que si bien lo alejan de la realidad, nos acercan a la comprensión del comportamiento de los precios.

Supone una única tasa constante	Todos los descuentos de los cupones se realizan a la misma tasa y se reinvierten a la misma tasa. Pero en realidad, si nos entregan un cupón en una fecha futura, la tasa a la que lo podemos reinvertir puede ser diferente. (Riesgo de reinversión)
Efecto de la tasa cupón	Diferentes títulos con igual fecha de vencimiento, pero diferente tasa cupón, presentan diferente tasa de retorno al vencimiento

Una manera más sencilla de expresar la anterior fórmula es en términos vectoriales: Sea $\vec { d } = ( \frac{ 1 }{ {(1+y)}^{1} }, ··· , \frac{ 1 }{ {(1+y)}^{n} } ) = ({d}_{1},...,{d}_{n})$ el vector de descuentos y $\vec { c } = ( {FC}_{1},...,{FC}_{n} )$ el vector de flujos de caja futuros, entonces el precio de un bono está determinado por el producto punto de los dos vectores:

$$\Large{ P = \vec { c } · \vec { d } }$$

Que sin duda es una fórmula mucho más fácil de recordar. He ahí el poder de la notación vectorial. Sin embargo, para entender mejor las ecuaciones, se prefiere una notación matricial como la siguiente:

$$ P = {\begin{bmatrix} {c}_{1} & {c}_{2} & ··· & {c}_{n} \end{bmatrix} }_{1 \times n} {\begin{bmatrix} {d}_{1} \\ {d}_{2} \\ ··· \\ {d}_{n} \end{bmatrix} }_{n \times 1}$$

Donde cada ${d}_{i}$ es un factor de descuento que equivale al precio de un bono cero cupón que tiene valor nominal 1 y vence en $i$ años. O visto desde otro punto de vista, el bono con precio ${d}_{i}$ debe componerse durante $i$ años a una tasa ${y}_{i}$ para que entregue un nominal de \$1.
$$\large {d}_{i} = \frac {1}{{(1+{y}_{i})}^{i}} \quad \rightarrow \quad {d}_{i} {(1+{y}_{i})}^{i} = 1$$
La generalización para $m$ bonos con $n$ flujos de caja es

$$ {\begin{bmatrix} {p}_{1} \\ {p}_{2} \\ ··· \\ {p}_{m} \end{bmatrix} }_{m \times 1} = {\begin{bmatrix} {c}_{1,1} & {c}_{1,2} & ··· & {c}_{1,n} \\ {c}_{2,1} & {c}_{2,2} & ··· & {c}_{2,n} \\ ··· & ··· & ··· & ··· \\ {c}_{m,1} & {c}_{2,2} & ··· & {c}_{m,n} \\ \end{bmatrix} }_{m \times n} \times {\begin{bmatrix} {d}_{1} \\ {d}_{2} \\ ··· \\ {d}_{n} \end{bmatrix} }_{n \times 1} $$

Veamos un ejemplo. Supongamos que un bono con vencimiento en dos años, tasa cupón del 5% anual, y un valor nominal de 100, tiene un precio de 98,17. Otro bono con vencimiento en dos años, tasa cupón del 8% anual y valor nominal de 100 tiene un precio de 103,67. Lo que tratamos de buscar, son los factores de descuento ${d}_{1}$ y ${d}_{2}$ y luego encontrar las tasas spot usadas para el descuento en el año 1 y 2 respectivamente. Podemos expresar el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ {\begin{matrix} 98,17 & = & 5·{d}_{1} & + & 105·{d}_{2} \\ 103,67 & = & 8·{d}_{1} & + & 108·{d}_{2} \\ \end{matrix}} $$
O también podemos expresar el sistema en forma matricial
$$ {\begin{bmatrix} 98,17 \\ 103,67 \\ \end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix} 5 & 105 \\ 8 & 108 \\ \end{bmatrix}} \times {\begin{bmatrix} {d}_{1} \\ {d}_{2} \\ \end{bmatrix}} $$
Resolviendo el sistema, encontramos que ${d}_{1}$ = 0,9433 y ${d}_{2}$ = 0,89. Luego hallamos los valores de las tasas spot del primer año resolviendo ${y}_{1} = {{d}_{1}}^{-1} - 1$ = 0,0601 y para el segundo año ${y}_{2} = {{d}_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 1$ = 0,05998

El sistema también puede plantearse mediante una regresión lineal multiple, reexpresando de la siguiente forma:

$$ {\begin{bmatrix} {P}_{1} \\ {P}_{2} \\ ··· \\ {P}_{m} \end{bmatrix} }_{m \times 1} = {\begin{bmatrix} {c}_{1,1} & {c}_{1,2} & ··· & {c}_{1,n} \\ {c}_{2,1} & {c}_{2,2} & ··· & {c}_{2,n} \\ ··· & ··· & ··· & ··· \\ {c}_{m,1} & {c}_{2,2} & ··· & {c}_{m,n} \\ \end{bmatrix} }_{m \times n} \times {\begin{bmatrix} {d}_{1} \\ {d}_{2} \\ ··· \\ {d}_{n} \end{bmatrix} }_{n \times 1} + {\begin{bmatrix} { \varepsilon }_{1} \\ { \varepsilon }_{2} \\ ··· \\ { \varepsilon }_{m} \end{bmatrix} }_{m \times 1} $$
$$\Large{ {P}_{m \times 1} = {C}_{m \times n} \times {D}_{n \times 1} \quad + \quad { \varepsilon }_{m \times 1 } }$$

Aquí $ \large \varepsilon $ es el vector de términos de error que pueden ocurrir por dos cosas: Error de medición en las observaciones de los precios (argumento que es explicado por el segundo supuesto) y/o una imperfección de mercado que se explica por costos transaccionales.

Normalmente el número de observaciones de los precios de los bonos (bonos comparables entre sí) es menor al número de coeficientes a estimar ya que sus flujos de caja son extensos, por lo que no se puede estimar directamente una regresión lineal. Debido a ésto, se hace necesario modelar la estructura de tasas de interés de tal forma que se pueda reducir el número de parámetros a estimar y la estimación sea más razonable, ya que la función de descuento no es lineal.

---

---